Liczba zmiennoprzecinkowa

Liczba zmiennoprzecinkowa – Wikipedia, wolna encyklopedia

Liczba zmiennoprzecinkowa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, szukaj

Liczba zmiennoprzecinkowa – komputerowa reprezentacja liczb rzeczywistych zapisanych w postaci wykładniczej (zwanej też notacją naukową). Ze względu na wygodę operowania na takich liczbach przyjmuje się ograniczony zakres na mantysę i cechę. Powoduje to, że reprezentacja jest tylko przybliżona a jedna liczba zmiennoprzecinkowa może reprezentować różne liczby rzeczywiste z pewnego odcinka.

Spis treści

Podstawa matematyczna

Reprezentacja zmiennoprzecinkowa IEEE-754 single

Wartość liczby zmiennoprzecinkowej jest obliczana wg wzoru:

x = S \cdot M \cdot B^E

gdzie:

Mantysa jest znormalizowana, tj. należy do przedziału [1,B) (przedział prawostronnie otwarty!). Jeżeli M jest stałe, a E zmienia się, wówczas przesunięciu ulega przecinek – stąd właśnie pochodzi nazwa tej reprezentacji.

Zarówno dla mantysy jak i wykładnika ilość cyfr jest z góry ustalona. Zatem dana liczba jest reprezentowana z pewną skończoną dokładnością i należy do skończonego zbioru wartości.

Załóżmy, że m to liczba cyfr przeznaczonych na mantysę, natomiast n+1 to liczba cyfr przeznaczonych na wykładnik (n cyfr dla wartości i 1 dla znaku wykładnika). Uznaje się również, że jedna dodatkowa pozycja (najstarsza) zarezerwowana jest dla zapisu znaku całej liczby. Wówczas wartości maksymalne i minimalne dla M i E określone są następująco:

  • Wykładnik E:
    • Emin = − Bn + 1
    • Emax = Bn − 1
  • Mantysa M:
    • Mmin = 1
    • Mmax = B − B − (m − 1)

Stąd najmniejsza i największa liczba dodatnia możliwa do zapisania w takiej reprezentacji to:

  • x_{\min} = M_{\min} \cdot B^{E_{\min}} = 1 \cdot B^{E_{min}}
  • x_{\max} = M_{\max} \cdot B^{E_{\max}} = \left( B-B^{-(m-1)} \right) \cdot B^{E_{max}} < B^{E_{max}+1}.

Zakres liczb, które mogą być reprezentowane w danym zapisie wynosi:

[-x_{\max}, -x_{\min}] \cup \{0\} \cup [x_{\min}, x_{\max}]

Zero jest wartością specjalną, która nie może zostać bezpośrednio reprezentowana w tym formacie.

Błąd względny reprezentacji wynosi \frac{1}{B^{m-1}} (inaczej: waga najmniej znaczącej cyfry mantysy). Błędów bezwzględnych na ogół się nie podaje.

Jeżeli komputer wygeneruje liczbę |x|<B^{E_{\min}}, to traktowana jest jako niedomiar (underflow).

W przypadku, gdy otrzymana liczba |x|>M_{\max} \cdot B^{E_{\max}}, to traktowana jest jako nadmiar wykładniczy (overflow).

Przykład reprezentacji

Przyjmijmy, że B = 10, liczba cyfr dziesiętnych przeznaczonych na mantysę wynosi 4, natomiast na wykładnik 2. Chcemy zapisać wartość 60,89523.

  1. Pierwszy etap to normalizacja mantysy, sytuacja przedstawia się następująco: M=60{,}89523, \quad E=0. Mantysa M nie należy do zadanego przedziału [1,10), zatem należy przesuwać przecinek w lewo do chwili, aż wartość M będzie doń należała. Przesuwanie przecinka w lewo wiąże się ze zwiększaniem E.
  2. Po normalizacji (przesunięciu przecinka o 1 pozycje w lewo) otrzymujemy:M=6{,}089523, \quad E=1
  3. Ostatnim krokiem jest odpowiednie obcięcie (ang. truncate), albo zaokrąglenie (ang. round) mantysy do zadanej ilości cyfr.
    • obcięcie: 6{,}089 \cdot 10^1
    • zaokrąglenie: 6{,}090 \cdot 10^1

Przykład dla liczby mniejszej od 1: 0,0000125.

  1. Mantysa 0,0000125 nie jest znormalizowana, należy tym razem przesuwać przecinek w prawo, co wiąże się ze zmniejszaniem E.
  2. Po normalizacji, tj. przesunięciu przecinka o 5 pozycje w prawo, otrzymujemy: M=1{,}25 \quad E=-5.
  3. Liczba cyfr znaczących jest mniejsza od dostępnej, więc nie potrzebna żadna forma zaokrąglania. Liczba ma postać 1{,}2500 \cdot 10^{-5}.

Operacje na liczbach zmiennoprzecinkowych

Własności arytmetyki zmiennoprzecinkowej

Arytmetyka zmiennoprzecinkowa nie jest łączna. To znaczy: iż dla x, y i z mogą zachodzić różności:

  • (x + y) + z \neq x + (y + z)
  • (x \cdot y) \cdot z \neq x \cdot (y \cdot z) ,

ani rozdzielna czyli może zachodzić różność:

  • x \cdot (y + z) \neq (x \cdot y) + (x \cdot z)

Innymi słowy kolejność wykonywania operacji wpływa na końcowy wynik.

Przy obliczeniach zmiennoprzecinkowych występują też inne problemy:

  • zaokrąglenia
  • nieprawidłowe operacje
  • przepełnienie
  • niedomiar

Dodawanie i odejmowanie

Załóżmy że chcemy dodać lub odjąć dwie dodatnie liczby zmiennoprzecinkowe: x_1 = M_1 \cdot B^{E_1} oraz x_2 = M_2 \cdot B^{E_2}, przy czym x_1 \ge x_2. Założenia te można spełnić dla dowolnych liczb zmiennoprzecinkowych manipulując ich kolejnością, znakiem wyniku oraz rodzajem wykonywanej operacji, wg poniższego schematu:

\begin{matrix} (+x_1)+(+x_2), & (+x_1)-(-x_2), & (+x_2)+(+x_1), & (+x_2)-(-x_1) & \rightarrow & +(x_1+x_2) \\ (+x_1)+(-x_2), & (+x_1)-(+x_2), & (-x_2)+(+x_1), & (-x_2)-(-x_1) & \rightarrow & +(x_1-x_2) \\ (-x_1)+(-x_2), & (-x_1)-(+x_2), & (-x_2)+(-x_1), & (-x_2)-(+x_1) & \rightarrow & -(x_1+x_2) \\ (-x_1)+(+x_2), & (-x_1)-(-x_2), & (+x_2)+(-x_1), & (+x_2)-(+x_1) & \rightarrow & -(x_1-x_2) \\ \end{matrix}

Wówczas:

x_1 \pm x_2 = (M_1 \pm M_2 \cdot B^{E_2-E_1}) \cdot B^{E_1}

Jeśli liczby mają różne wykładniki, to podczas dodawania mantysa liczby o mniejszym wykładniku musi zostać zdenormalizowana – we wzorze jest to przemnożenie M2 przez czynnik B^{E_2-E_1}. W szczególnym przypadku, jeśli E1 − E2 jest większe niż m (ilość cyfr mantysy), to po tej denormalizacji mantysa będzie miała wartość 0 i liczba o mniejszym wykładniku nie wpłynie na wynik dodawania bądź odejmowania.

Odejmowanie liczb zmiennoprzecinkowych o takim samym wykładniku E i niewiele różniącej się mantysie, powoduje że wynikowa mantysa jest znacznie zdenormalizowana. Renormalizacja w takim wypadku wiąże się z wprowadzeniem sporej ilości nieznaczących zer na końcu mantysy. Jest to szczególnie niekorzystne, dlatego zwykle tak projektuje się obliczenia aby do tego nie dopuścić.

Mnożenie i dzielenie

Mając dane liczby zmiennoprzecinkowe x_1 = S_1 \cdot M_1 \cdot B^{E_1} i x_2 = S_2 \cdot M_2 \cdot B^{E_2}:

x_1 \cdot x_2 = (S_1 \cdot S_2) \cdot (M_1 \cdot M_2) \cdot B^{E_1+E_2}
x_1/x_2 = (S_1 \cdot S_2) \cdot (M_1 / M_2) \cdot B^{E_1-E_2}

Błędy operacji elementarnych

Wygodnie jest przedstawić liczbę zmiennoprzecinkową jako wartość dokładną zaburzoną pewnym błędem reprezentacji \varepsilon:

\bar{x} = x(1 + \varepsilon_x)

Wówczas błąd względny poszczególnych operacji elementarnych wykonywanych na liczbach \bar{a}=a(1+\varepsilon_a) oraz \bar{b}=b(1+\varepsilon_b) można oszacować następująco:

  • dodawanie/odejmowanie: \varepsilon_{a \pm b} = \frac{a \varepsilon_a \pm b \varepsilon_b}{a \pm b} + \varepsilon_{\pm}
  • mnożenie: \varepsilon_{a \cdot b} = \varepsilon_a + \varepsilon_b + \varepsilon_{\cdot}
  • dzielenie: \varepsilon_{a / b} = \varepsilon_a - \varepsilon_b + \varepsilon_{/}

gdzie \varepsilon_{\pm}, \varepsilon_{\cdot} i \varepsilon_{/} to błędy wprowadzane przez dane opracje arytmetyczne.

Rozbijając każde wyrażenie arytmetyczne na operacje elementarne, można za pomocą tych zależności oszacować powstałe błędy. Istnieją jednak lepsze i szybsze metody modelowania błędów.

Implementacje sprzętowe

W implementacjach sprzętowych liczby zmiennoprzecinkowe są zrelizowane na liczbach dwójkowych (B=2). Wiąże się to z następującymi zaletami:

  1. Mantysa należy do przedziału [1,2), jest więc postaci 1.xxxxx.... (x – bit o dowolnej wartości). Ponieważ część całkowita jest znana, równa zawsze 1, nie jest zapamiętywana, co daje dodatkowy bit na część ułamkową.
  2. Ponieważ znak liczby jest zapamiętywany na jednym bicie, to otrzymanie modułu i wartości przeciwnej wymaga, odpowiednio, wyzerowaniu tego bitu (logiczna operacja AND), lub zmiany na wartość przeciwną (logiczna operacja XOR).

W celu ujednolicenia zasad operacji na liczbach zmiennoprzecinkowych na różnych platformach sprzętowych, opracowano standard IEEE 754, w oparciu o który realizuje się obecnie praktycznie wszystkie implementacje sprzętowe liczb zmiennoprzecinkowych. Definiuje on dwie klasy liczb:

  • pojedynczej precyzji (ang. single)
  • podwójnej precyzji (ang. double)

Są również inne sposoby zapisu, różniące się jedynie liczbą bitów przeznaczoną na poszczególne pola. Np. koprocesor w procesorach x86, oprócz typów standardowych, wspiera ponadto liczby 10-bajtowe, natomiast kompilator Pascala liczby 6-bajtowe[1]. Liczby zgodne ze standardem IEEE 754 mają dokładnie określoną semantykę, jak na przykład dokładność operacji elementarnych, kierunki zaokrągleń czy obsługa sytuacji wyjątkowych – są to cechy bardzo pożądane w zastosowaniach naukowych i inżynieryjnych, ułatwiają również przenoszenie kodu programu na inny sprzęt.

Format Znak [bity] Wykładnik [bity] Mantysa [bity] Szerokość słowa [bity] Typy w językach programowania
IEEE-754 single 1 8 23 32 float (C), single (Pascal), real*4 (Fortran)
IEEE-754 double 1 11 52 64 double (C), real lub double (Pascal), real*8 (Fortran)
koprocesor x87 1 15 64 80 long double (C99), extended (Pascal)
Turbo Pascal 1 8 39 48 real/real48 (Turbo Pascal)
SSE5, OpenGL 3.0[2] 1 5 10 16 w OpenGL nazywana half-float

Przesunięcie wykładnika

Wykładnik, w celu uniknięcia konieczności kodowania jego znaku (liczba miałaby dwa bity znaku), zapisywany jest jako wartość przesuniętą o pewną stałą (ang. biased exponent). Właściwą wartość wykładnika uzyskuje się odejmując od zakodowanego wykładnika wartość przesunięcia (ang. bias). Wartość liczby zmiennoprzecinkowej oblicza się ze wzoru:

x = (-1)^S \cdot M \cdot 2^{E - \textrm{bias}}

gdzie S to bit znaku; liczba jest ujemna, gdy bit znaku jest równy 1, w przeciwnej sytuacji jest 0.

Typowe wartości przesunięcia dla koprocesora x87 (występującego w procesorach x86) wynoszą:

  • 127 (7FH) w formacie 32-bitowym
  • 1023 (3FFH) w formacie 64-bitowym
  • 16383 (3FFFH) w formacie 80-bitowym

Wartości specjalne

Oprócz zwykłych liczb, zdefiniowano następujące wartości specjalne:

  • NaN – nie-liczba (ang. Not-a-Number), to symbol, który nie reprezentuje wartości liczbowej, powstały zazwyczaj w wyniku niedozwolonej operacji (np. pierwiastkowanie liczby ujemnej)
    • sNaN – sygnalizujące NaN (ang. signalling NaN) – rozróżnienie wprowadzone w procesorach z rodziny x86; dla większości operacji wykonanie liczba operacja sNaN spowoduje zgłoszenie wyjątku.
    • qNaN – ciche NaN (ang. quiet NaN) – przekazanie tej wartości jako argumentu operacji nie powoduje zgłoszenia wyjątku; w operacjach SSE można ustalić, że liczba operacja qNaN → 0.
  • Zero – rozróżnia się +0,0 i -0,0.
  • Nieskończoność – jest wynikiem operacji w przypadku wystąpienia nadmiaru (przepełnienia), przy dzieleniu przez 0, itp.; może być dodatnia lub ujemna.
  • Liczba zdenormalizowana – pojawia się, gdy występuje niedomiar (ang. underflow), ale wynik operacji jeszcze można zapisać denormalizując mantysę (w takim przypadku mantysa reprezentuje liczbę w postaci 0,xxx...xxx, a nie 1,xxx...xxxx).
Wartość specjalna Bit znaku Bity wykładnika Bity mantysy Uwagi
NaN x 111..111 xxxx...xxx wszystkie bity wykładnika są równe 1, natomiast mantysa ma niezerową wartość
QNaN x 111..111 1xxx...xxx uwagi jak dla NaN, ale pierwszy bit mantysy zawsze równy 1
SNaN x 111..111 0xxx...xxx uwagi jak dla NaN, ale pierwszy bit mantysy zawsze równy 0
±Zero x 000..000 0000...000 wszystkie bity mantysy i wykładnika równe 0, bit znaku decyduje o znaku wartości
±Nieskończoność x 111..111 0000...000 wszystkie bity mantysy równe 0, wszystkie bity wykładnika równe 1, bit znaku decyduje o znaku wartości
Zdenormalizowana x 000..000 xxxx...xxx mantysa różna od 0, wszystkie bity wykładnika równe 0, bit znaku decyduje o znaku wartości

Typy zmiennoprzecinkowe w językach programowania

C, C++

Rozmiar typów zmiennoprzecinkowych zależy od konkretnych implementacji. Standardowo, typ float zajmuje co najmniej 4 bajty, double 8 bajtów, a long double zazwyczaj 8-12 bajtów. W przypadku kompilatora GCC w wersji 3.3.5, długości typów wynoszą odpowiednio 4, 8 i 12 bajtów.

Pascal

Zadeklarowane zmienne typu real mogą przyjmować wartości rzeczywiste z przedziału od 2,9 · 10-39 do 1,7 · 1038, co wynika z przeznaczenia na taką liczbę 6 bajtów.

Fortran

W oryginalnej specyfikacji języka Fortran typ real miał dwie możliwe długości REAL i DOUBLE PRECISION. Zakres i precyzja obydwu typów nie były wyspecyfikowane, lecz zależały od architektury konkretnego komputera, z wymaganiem aby DOUBLE PRECISION miał wyższą precyzję i co najmniej taki sam zakres co REAL.

Z czasem rynek został całkowicie zdominowany przez komputery o architekturze opartej o 8-bitowe bajty, przyjęło się, że podstawowy typ REAL zajmuje 4 bajty. Współczesne kompilatory Fortran-u dopuszczają deklaracje:

  • REAL*4 lub po prostu REAL – 32 bity, odpowiednik typu float w języku C
  • REAL*8 lub DOUBLE PRECISION – 64 bity, odpowiednik typu double w języku C

Niektóre implementacje dopuszczają także typ:

  • REAL*16 – 128 bitów.

Kalkulator

Sposoby wyświetlania liczb zmiennoprzecinkowych:

  • FLO (Floating Notation) – notacja dziesiętna – tryb domyślny. Jeżeli jest to możliwe wyświetla liczbę z wykładnikiem równym 0 pomijając jego wyświetlanie
  • SCE (Scientific Notation) – notacja naukowa – zawsze wyświetla liczbę z wykładnikiem
  • ENG (Engineering Notation) – notacja inżynierska – zawsze wyświetla liczbę z wykładnikiem podzielnym przez 3.

Historia

Binarne liczby zmiennoprzecinkowe po raz pierwszy zastosował Konrad Zuse w mechanicznym komputerze Z1.

Przypisy

  1. ↑ Firma Borland w kompilatorach języka Pascal począwszy od wersji Delphi 3.0 przyjęła za standard liczb zmiennoprzecinkowych liczby typu double, stary typ został nazwany real48 i jest obsługiwany w celu zachowania kompatybilności z poprzednimi wersjami, ale ma status przestarzałego elementu języka, który w pewnym momencie może przestać być obsługiwany.
  2. ↑ Specyfikacja OpenGL 3.0, wersja z 11.08.2008, sekcja 2.1.2 "16-Bit Floating Point Number"

Zobacz też

p • d • e
Typy danych w C++
Typy podstawowe
bool • char • double • float • int • void • wskaźnik • enum
Typy złożone
Gry komputerowe
Gry komputerowe, piłkarskie, sport…
www.euro-mistrzostw…		poradniki do gier

www.gry.mocny.com		Firany

www.finezja-studio.…		Darmowe gry
darmowe gry, gry
www.gry.emity.pl		pomoc domowa Warszawa
Agencja Dudek
www.agencjadudek.pl